\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Polynômes du 2e degré - Association}
\tribe{1ST}
\date{Mars 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\arediger{Un exercice parmi les 3 suivants. Les 3 exercices ne sont pas d'une difficulté équivalente, à vous d'en choisir un qui correspond à votre niveau.}

\begin{exercise}[subtitle={Basic}]
    On définit la fonction $f$ sur $\R$ par
    \[
        f(x) = -0,1x^2 -0,3x +1,8
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Calculer l'image de 3 et interpréter le résultat.
        \item Démontrer que -6 est une racine de $f$.
        \item Démontrer que l'on a $f(x) = -0,1(x-3)(x+6)$.
        \item Tracer le tableau de signe de $f$.
        \item Dériver la fonction $f$.
        \item En déduire le tableau de variations de $f$.
        \item Déterminer les coordonnées du sommet de la représentation graphique de $f$.
        \item Tracer l'allure de la représentation graphique.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Moyen}]
    \begin{enumerate}
        \item On considère la fonction polynôme $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = -3(x+1)(x-5)$ et $(P)$ la parabole représentant cette fonction.
            \begin{enumerate}
                \item Donner les 2 racines de $f$
                \item Développer $f$
                \item Déterminer les coordonnées du sommet $S$ de la parabole $(P)$.
                \item Dresser le tableau de signe de $f$.
                \item Parmi les représentations graphiques ci-dessous laquelle correspond à $(P)$? Justifier.

                    \hspace{-2cm}
                    \begin{tabular}{ccc}
                        \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.6]
                            \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
                            ymin=-5,ymax=30,ystep=2]
                            \tkzGrid
                            \tkzAxeXY
                            \tkzFct[domain = -2:7, line width=1pt]{-3*(x+1)*(x-5)}
                        \end{tikzpicture}
                    &
                    \begin{tikzpicture}[yscale=.4, xscale=0.6]
                        \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
                        ymin=-30,ymax=5,ystep=2]
                        \tkzGrid
                        \tkzAxeXY
                        \tkzFct[domain = -2:7, line width=1pt]{3*(x+1)*(x-5)}
                    \end{tikzpicture}
                    &
                    \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=0.6]
                        \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1,
                        ymin=-5,ymax=20,ystep=2]
                        \tkzGrid
                        \tkzAxeXY
                        \tkzFct[domain = -2:7, line width=1pt]{-3*(x+1)*(x-4)}
                    \end{tikzpicture}
                    \\
                        courbe 1 & Courbe 2 & Courbe 3
                    \end{tabular}
            \end{enumerate}
        \item Résoudre l'équation $f(x) < 15$
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\pagebreak

\begin{exercise}[subtitle={Intéressant}]
    Une entreprise commercialise des fruits en conserve. Elle en produit entre 0 et 13 tonnes par mois et vend l'intégralité de sa production.

    On note $x$ la production en tonne de fruits et on définit:
    \begin{itemize}
        \item La fonction $C(x)$ qui modélise les coûts de production
            \[
                C(x) = x^3 - 15 x^2 + 75x
            \]
        \item La fonction $R(x)$ qui modélise les recettes
            \[
                R(x) = 36,75x
            \]
    \end{itemize}
    \begin{enumerate}
        \item Déterminer les coûts puis les recettes pour une production de 8,5tonnes.
        \item La fonction $B(x)$ modélise les bénéfices de l'entreprise. C'est à dire la différence entre les recettes et les coûts
            \[
                B(x) = R(x) - C(x)
            \]
            L'entreprise fait-elle des bénéfices quand elle produit 8,5tonnes?
        \item Démontrer que $B(x) =  -x^3 +15x^2 - 38,25x$
        \item On note $B'$ la dérivée de $B$. Démontrer que $B'(x) = -3x^2 + 30x - 38,25$.
        \item Démontrer que $x=8,5$ et $x=1,5$ sont deux racines de $B'(x)$.
        \item En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
        \item En déduire le tableau de signe de $B'(x)$
        \item En déduire le tableau de variation de $B(x)$
        \item Pour quelle quantité de fruit produit, l'entreprise fait-elle un maximum de profit?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

