\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Projeté orthogonal et produit scalaire}
\tribe{1ST}
\date{Novembre 2019}

\pagestyle{empty}

%\geometry{left=15mm,right=15mm, bottom=8mm, top=5mm}
\begin{document}

\section*{Produit scalaire}

Pour mesurer l'effet d'une force (un vecteur) sur une direction (un vecteur), les mathématiciens ont crée une opération sur les vecteurs: \textbf{le produit scalaire}.

\subsection*{Définition}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}

    Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.

    On note $\vec{u} . \vec{v}$ le produit scalaire qui se calcule de la manière suivante
    \[
        \vec{u} . \vec{v} = ||\vec{u}||\times ||\vec{v}|| \times Cos(\vec{u};\vec{v})
    \]

\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
    \hfill
        \begin{tikzpicture}[scale=1]
            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (3, 0) node[below, midway] {$\vec{u}$};
            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (2, 2) node[left, midway] {$\vec{v}$};
            \draw[->] (1,0) arc (0: 45:1) node[midway, right] {$(\vec{u};\vec{v})$};
        \end{tikzpicture}
    \hfill
\end{minipage}

\subsection*{Définition}
On a vu que seul une partie du vecteur influençait sur l'autre, c'est le projeté orthogonal.

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points.

On appelle $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $AC$. Et on a alors

\bigskip
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
        Si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont dans le même sens alors
            \[
                \vec{AB} \;.\; \vec{AC} = AB \times AH
            \]

\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
    \hfill
        \begin{tikzpicture}[scale=1]
            \draw[->, very thick] (0, 0) node [left] {$A$} -- (3, 0) node [right] {$B$};
            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (2, 2) node [above] {$C$};
            \draw[dotted] (2, 0) node [below]  {$H$} -- (2, 2);
        \end{tikzpicture}
\end{minipage}

\begin{minipage}{0.5\textwidth}

        Si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont dans des sens contraires alors
            \[
                \vec{AB} \;.\; \vec{AC} = - AB \times AH
            \]

\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}

    \hfill
        \begin{tikzpicture}[scale=1]
            \draw[->, very thick] (0, 0) node [below] {$A$} -- (3, 0) node [right] {$B$};
            \draw[->, very thick] (0, 0) -- (-2, 2) node [above] {$C$};
            \draw[dotted] (-2, 0) node [below]  {$H$} -- (-2, 2);
            \draw (-2.5, 0) -- (0, 0);
        \end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{document}
