\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Dérivation d'une composée avec l'exponentielle}
\tribe{Terminale ES}
\date{Janvier 2020}

\pagestyle{empty}
\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}

\begin{document}

\begin{exercise}[subtitle={Variations}]
    Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $f(x) = 2e^{-3x}$ , $I = \R$
            \item $g(x) = 100e^{-0.5x + 1}$ , $I=\R$
            \item $h(x) = e^{-x^2}$ , $I = \R$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Étude d'une fonction}]
    On considère la fonction $f$ définie sur $I=\intFF{-3}{3}$ par $f(x) = 5e^{-0,5x^2}$.
    \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $f'(x)$ puis étudier son signe sur $I$.
                \item Dresser le tableau de variation de $f$.
                \item Combien l'équation $f(x) = 3$ a-t-elle de solution?
            \end{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Montrer que $f''(x) = (5x^2-5)e^{-0,5x^2}$.
                \item Montrer que $\mathcal{C}_f$ admet 2 points d'inflexions. Déterminer leur abscisse.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Équilibre du marché}]
    Une entreprise fabrique des housses isothermes pour canettes. Le prix à l'unité peut varier entre 5 et 10\euro l'unité. Une étude de marché a permis de modéliser l'offre et la demande en fonction du prix, $x$, par les fonctions suivantes
    \begin{itemize}
        \item L'offre: $f(x) = 10x-20$ (nombre de housse produite en fonction du prix unitaire)
        \item La demande: $g(x) = 180e^{-0,12x}$ (nombre de housse achetée en fonction du prix unitaire)
    \end{itemize}
    \begin{enumerate}
        \item On suppose que le prix de vente est fixé à 6\euro.
            \begin{enumerate}
                \item Quelle sera la quantité de housses achetées?
                \item Quelle sera la quantité de housses vendues?
                \item Qui de l'entreprise ou des clients ne sera pas satisfait par un prix de 6\euro?
            \end{enumerate}
        \item On appelle \textbf{prix d'équilibre} le prix unitaire $x$ tel que l'offre est égale à la demande. Pour le déterminer, on définit la fonction $h$ par $h(x) = f(x) - g(x)$.
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $h'(x)$ et étudier son signe.
                \item Construire le tableau de variation de $h$.
                \item Montrer que l'équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\intFF{5}{10}$. Donner une valeur approchée à 0,1près.
                \item Quel est la prix d'équilibre de ce produit d'après cette étude de marché?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\printexercise{exercise}{1}
\printexercise{exercise}{2}
\printexercise{exercise}{3}


\end{document}
