\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}


\title{Arbre de probabilité - Bilan 2}
\date{Novembre 2019}

\begin{document}

\section*{Arbre de probabilité (suite)}

\subsection*{Propriétés}
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
    Soit $A$ et $B$ deux évènements de $\Omega$ avec $P(A) \neq 0$. Alors on peut considérer l'arbre de probabilité ci-contre et on obtient les propriétés suivantes:

    \begin{itemize}
        \item La somme des probabilités des branches issues d'un même noeud est égale à 1. On a alors
            \[
                P(A) + P(\overline{ A }) = 1 \mbox{ ou encore } P_A(B) + P_A(\overline{ B }) = 1
            \]
        \item La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches parcourues. On a alors (chemin rouge)
            \[
                P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)
            \]
            Ou encore la formule de Bayes
            \[
                P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{ P(A) }
            \]
        \item La probabilité d'un évènement est égale à la somme des probabilités des chemins qui conduisent à cet évènement. C'est la loi des probabilités totale qui peut se traduire dans notre exemple par
            \[
                P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A} \cap B)
            \]
    \end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[grow=right, sloped, scale=1.5]
    \node {.} 
    child [red]  {node {$A$}
        child {node {$B$} 
            edge from parent
            node[above] {$P_A(B)$}
        }
        child [black] {node {$\overline{B}$}
            edge from parent
            node[above] {$P_A(\overline{B})$}
        } 
        edge from parent
        node[above] {$P(A)$}
    }
    child[missing] {}
    child { node {$\overline{A}$}
        child {node {$B$}
            edge from parent
            node[above] {$P_{\overline{A}}(B)$}
        }
        child {node {$\overline{B}$}
            edge from parent
            node[above] {$P_{\overline{A}}(\overline{B})$}
        } 
        edge from parent
        node[above] {$P(\overline{A})$}
    }%
    ;
\end{tikzpicture}
    
\end{minipage}


\end{document}
