\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\title{Suites Arithméticogéométriques- Limites}
\tribe{Terminale ES-L}
\date{Décembre 2019}

\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm, bottom=10mm}
\pagestyle{empty}

\xsimsetup{
	solution/print = true
}

\begin{document}

\begin{exercise}[subtitle={Suite arithméticogéométrique}]
    Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et pour tout entier positif $n$, $u_{n+1} = 0.2u_n + 8$. On pose $v_n = u_n-10$.
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0.2$.
        \item Calculer  $v_0$ puis exprimer $v_n$ en fonction de $n$. 
        \item En déduire, $u_n$ en fonction de $n$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Gaz à effet de serre - Liban 2017}]
    Un plan de réduction des émissions de gaz à effet de serre (GES) a été mis en place dans une zone industrielle. On estime que, pour les entreprises déjà installées sur le site, les mesures de ce plan conduisent à une réduction des émissions de 2\,\% d'une année sur l'autre et que, chaque année, les implantations de nouvelles entreprises sur le site génèrent 200 tonnes de GES en équivalent CO$_2$.

    En 2005, cette zone industrielle a émis 41 milliers de tonnes de CO$_2$ au total.

    Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de milliers de tonnes de CO$_2$ émis dans cette zone industrielle au cours de l'année $2005 + n$.\index{suite}

    \begin{enumerate}
        \item Déterminer $u_0$ et $u_1$.
        \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,98 \times u_n + 0,2$.
        \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 10$.
            \begin{enumerate}
                \item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,98$. Préciser son premier terme.\index{suite géométrique}
                \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
                \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 31 \times (0,98)^n + 10$.
            \end{enumerate}
        \item  
            \begin{enumerate}
                \item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
                \item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
            \end{enumerate}
        \item À l'aide de l'algorithme ci-dessous, on se propose de déterminer l'année à partir de laquelle la zone industrielle aura réduit au moins de moitié ses émissions de CO$_2$, par rapport à l'année 2005.\index{algorithme}

            \begin{minipage}[t]{0.55\linewidth}
                \begin{enumerate}
                    \item Recopier et compléter les lignes 3 et 4 de l'algorithme
                    \item L'algorithme affiche 54. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
                \end{enumerate}
            \end{minipage}%
            \hfill
            \begin{minipage}[t]{0.4\linewidth}
                \begin{minipage}[b]{0.8\linewidth}
                    \begin{algorithm}[H]
                        \SetAlgoLined
                        $u \leftarrow 41$ \;
                        $n \leftarrow 0$ \;
                        \Tq{$n \cdots$}{
                            $u \leftarrow \cdots$ \;
                            $n \leftarrow n+1$ \;
                        }
                        \Sortie{n}
                    \end{algorithm}
                \end{minipage}
            \end{minipage}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item $u_0 = 41$. Puis on enlève 2\,\%  à $u_0$ et on ajoute 200 tonnes soit 0,2 milliers de tonnes,

            soit $u_1 = 41 - 41\times \dfrac{2}{100}+0,2 = 0,98\times 41+0,2=40,38$.
        \item Pour calculer la quantité émise l'année $n+1$, on enlève 2\,\% (il restera donc 98\,\%) à la quantité émise lors de l'année $n$ puis on ajoute 0,2 (200 tonnes en milliers de tonnes).

            Donc pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,98 \times u_n + 0,2$.
        \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 10$.
            \begin{enumerate}
                \item Pour tout entier naturel $n$ :
                    \begin{eqnarray*}
                        \frac{v_{n+1}}{v_n} &=& \frac{u_{n+1} - 10}{u_n-10} \\
                        &=& \frac{0,98 \times u_n + 0,2- 10 }{u_n-10} \\
                        &=& \frac{0,98\times u_n -9,8}{u_n-10} \\
                        &=& \frac{0,98(u_n - 10)}{u_n-10} \\
                        &=&0,98
                    \end{eqnarray*}

                    Donc la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,98$. Son premier terme est $v_0 = u_0 - 10 = 31$.
                \item Pour tout entier naturel $n$, $v_n = v_0\times q^n = 31\times 0,98^n$.
                \item Pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - 10$ donc $u_n = v_n + 10 = 31 \times (0,98)^n + 10$.

                    \[u_n  = 31 \times (0,98)^n + 10, \: n \in \N.\]
            \end{enumerate}
        \item  
            \begin{enumerate}
                \item Nous savons que $q\in ]-1~;~1[$ donc la suite géométrique de raison $q$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers l'infini. Donc la suite $\left(v_n\right)$ a pour limite 0 en l'infini. La limite de la suite $\left(u_n\right)$ quand $n$ tend vers l'infini est donc égale à 10.
                \item Cela veut donc dire qu'au bout d'un très grand nombre d'année, les émissions de cette zone industrielle tendrons vers 10 milliers de tonnes, sans pouvoir descendre encore en dessous de cette limite.
            \end{enumerate}
        \item  
            \begin{enumerate}
                \item ~

                    \parbox{0.45\linewidth}{Recopier et compléter les lignes 7 et 9 de
                        l'algorithme} \hfill \parbox{0.5\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
                            1& Variables\\
                            2&\quad $U$ est du type nombre\\
                            3&\quad  $n$ est du type nombre entier\\
                            4& Début Algorithme\\
                            5&\quad  $U$ prend la valeur $41$\\
                            6&\quad  $n$ prend la valeur $0$\\
                            7&\quad  Tant que {\color{red}{$U\geqslant 20,5$}} faire\\
                            8&\quad \quad  Début Tant que\\
                            9&\quad \quad  $U$ prend la valeur {\color{red}{$0,98\times U+0,2$}}\\
                            10&\quad \quad $n$ prend la valeur $n + 1$\\
                            11&\quad \quad  Fin Tant que\\
                            12&\quad  Afficher $n$\\
                            13& Fin Algorithme\\ \hline
                    \end{tabularx}}

                \item L'algorithme affiche 54. Donc au bout de 54 années après 2005, et donc en 2059, les émissions de la zone industrielle auro
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Tirage d'un journal - Metropole 2017}]
    Dans cet exercice, on étudie le tirage moyen journalier des quotidiens français d'information générale et politique, c'est-à-dire le nombre moyen d'exemplaires imprimés par jour.

    Le tableau suivant donne, entre 2007 et 2014, pour chaque année ce tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires:

    \begin{center}
        \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
            \hline
            Année & 2007 & 2008 & 2009 & 2010 & 2011 & 2012 & 2013 & 2014\\
            \hline
            \small Tirage moyen journalier en milliers d'exemplaires &\np{10982}  &\np{10596}  &\np{10274}  &\np{10197}  &\np{10182} &\np{9793}  &\np{9321}  &\np{8854} \\ \hline
            \multicolumn{9}{r}{\footnotesize \emph{Source: D.G.M.I.C (Direction générale des médias et des industries culturelles)}} 
        \end{tabularx}

    \end{center}

    Dans cet exercice, les résultats seront arrondis si nécessaire au centième.

    \begin{enumerate}
        \item Calculer le taux d'évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008.\index{taux d'évolution}

            Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ le tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires, de l'année $(2007+n)$.

            On modélise la situation en posant: $V_0 = \np{10982}$ et, pour tout entier naturel $n$,

            \[V_{n+1} = 0,96 V_n +100.\]\index{suite}

        \item Calculer $V_1$ puis $V_2$.

        \item Soit $(W_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $W_n = V_n-\np{2500}$.

            \begin{enumerate}
                \item Montrer que $(W_n)$ est une suite géométrique de raison $0,96$ puis déterminer son premier terme.\index{suite géométrique}
                \item Déterminer l'expression de $W_n$ en fonction de $n$.
                \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $V_n= \np{8482}\times 0,96^n + \np{2500}$.
            \end{enumerate}
        \item
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l'année 2017.
                \item Déterminer la limite de la suite $(W_n)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
                \item Proposer un algorithme affichant le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu'à l'année $(2007+n)$, pour un nombre d'années $n$ saisi par l'utilisateur.\index{algorithme}
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item Le taux d'évolution du tirage moyen journalier entre 2007 et 2008 est 
            $\dfrac{\np{10596}-\np{10982}}{\np{10982}}\times 100 \approx -3,51\,\%$.

            \medskip

            Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ le tirage moyen journalier, en milliers d'exemplaires, de l'année $(2007+n)$.

            Soit $(V_n)$ la suite définie par $V_0=\np{10982}$ et, pour tout entier naturel $n$,
            $V_{n+1} = 0,96 V_n +100$.

        \item $V_1= 0,96 V_0 + 100 = 0,96\times \np{10982}+100 = \np{10642,72}$ et \\
            $V_2 = 0,96 V_1 + 100 = 0,96\times \np{10642,72}+100 \approx \np{10317,01}$

        \item Soit $(W_n)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $W_n = V_n-\np{2500}$ donc

            $V_n=W_n+\np{2500}$.
        \begin{enumerate}
            \item% Montrer que $(W_n)$ est une suite géométrique de raison $0,96$ puis déterminer son premier terme.
                \begin{eqnarray*}
                    \frac{W_{n+1}}{W_n} &=& \frac{V_{N+1} - 2500}{V_N-2500} \\
                    &=& \frac{0,96 V_n + 100 - 2500}{V_n-2500} \\
                    &=& \frac{0,96 V_n - 2400}{V_n - 2500} \\
                    &=& \frac{0,96(V_-2500)}{V_n-2500} \\
                    &=& 0,96
                \end{eqnarray*}


                $W_0 = V_0-\np{2500} = \np{10982} - \np{2500} = \np{8482}$

                Donc la suite $(W_n)$ est géométrique de raison $q=0,96$ et de premier terme $W_0=\np{8482}$.

            \item% Déterminer l'expression de $W_n$ en fonction de $n$.
                On déduit de la question précédente que, pour tout $n$, $W_n=W_0\times q^n = \np{8482} \times 0,96^n$.

            \item% En déduire que pour tout entier naturel $n$, $V_n= \np{8482}\times 0,96^n + \np{2500}$.
                Pour tout $n$, $V_n=W_n+\np{2500}$ donc $V_n=\np{8482}\times 0,96^n + \np{2500}$.
        \end{enumerate}

        \item
            \begin{enumerate}
                \item L'année 2007 correspond à $n=0$ donc l'année 2017 correspond à $n=10$.

                    Le tirage moyen journalier prévu selon ce modèle pour l'année 2017 est\\
                    $V_{10}= \np{8482}\times 0,96^{10} + \np{2500} \approx \np{8139,11}$ milliers d'exemplaires.

                \item %Déterminer la limite de la suite $(W_n)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
                    La suite $(W_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,96$; or $-1<q<1$ donc la suite $(W_n)$ admet le nombre 0 pour limite.

                    On en déduit que la suite $(V_n)$ a pour limite $\np{2500}$ ce qui veut dire que le nombre d'exemplaires vendus va tendre vers $\np{2500}$ milliers.

                \item L'algorithme suivant affiche le tirage moyen journalier, à partir de 2007 jusqu'à l'année $(2007+n)$, pour un nombre d'années $n$ saisi par l'utilisateur:

                    \begin{center}
                        \begin{tabular}{|@{\hspace*{0.7cm}} l @{\hspace*{0.7cm}} |}
                            \hline
                            \\
                            \textbf{Variables}\\
                            \hspace*{1cm} $V$ est un réel\\
                            \hspace*{1cm} $n$ et $k$ sont des entiers\\
                            \textbf{Initialisation}\\
                            \hspace*{1cm} Saisir la valeur de $n$\\
                            \hspace*{1cm} $V$ prend la valeur $\np{10982}$\\
                            \textbf{Traitement et affichage}\\
                            \hspace*{1cm} Pour $k$ variant de 1 à $n$\\
                            \hspace*{2cm} $V$ prend la valeur $0,96 \times V + 100$\\
                            \hspace*{2cm} Afficher $V$\\
                            \hspace*{1cm} Fin Pour\\
                            \\
                            \hline
                        \end{tabular}
                    \end{center}
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}            
\end{solution}


\end{document}
