Modélisation avec des suites pour l'année 2019-2020 en terminale ES

Étape 1: Modélisation et comparaison (~2h)

On va comparer 2 placements différents, un rendement fixe et un autre avec un pourcentage. Les questions que l'on se posera seront quand notre capital aura doublé, est-ce qu'un est plus rentable qu'un autre... On ne fait aucune mention aux suites. On incitera, si on en a la possibilité, les élèves à utiliser le tableur pour faire les calculs et représenter graphiquement les 2 situations.

Il serait intéressant de demander aux élèves de décrire et comparer ces deux types d'évolutions (croissance constante contre croissance lente qui s'accélère de plus en plus).

Cahier de bord: Définition d'une suite comme collection de valeurs indexés avec des entiers. L'activité nous permettra de caractérisé 2 types de suites: arithmétiques et géométriques (lien avec intérêts simple et intérêts composés). Les méthodes de calculs trouvées seront inscrites.

Exercices techniques: Calculs de termes de suite à partir de situations concrètes. On insistera sur l'utilisation des notations.

• 21p22 juste la questions principale
• 26p23 Avec une somme cachée!
• 23p23 % d'évolution inversé
• 70p33 (que la dernière question et plutôt le tableur que la calculatrice) évolution comparée
• 74p34 avec le tableur

Pour aller plus loin:

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Étape 2: Reconnaître une suite

La première partie consiste à modéliser la population africaine avec une suite. Le coefficient multiplicateur n'est pas constant mais varie peu. Les élèves seront amener à choisir entre une modélisation avec une suite arithmétiques ou géométrique. Pour faire, ils devront calculer les différences et les rapports pour déterminer le modèle qui colle le plus. Une fois la situation modélisée, ils pourront alors faire une estimation de la population les années suivantes.

La deuxième partie est plus classique. Cinq suite, les élèves doivent déterminer la nature de chacune des suites.

Cahier de bord: On devrait commencer à avoir trouver les méthodes qui permettent de calculer les valeurs des termes lointain. On aura donc pour chaque type de suite, une vision modélisation, la formule par récurrence et une formule explicite et des graphiques types. On notera aussi un ou deux exemples pour déterminer la nature de la suite.

Exercices techniques: Calcul de termes d'une suite à partir d'un formule de récurrence ou explicite.

• 33p24: 2 suite géométriques puis on fait le rapport

Étape 3: Variation d'une suite

Étape plus théorique, on demande aux élèves de nous dire à quelles conditions une suite arithmétique ou géométrique est croissante ou décroissante. On pourra profiter de cette séance pour calculer et tracer des termes d'une suite avec la calculatrice.

Cette étape est aussi l'occasion de se poser la question de la traduction mathématique du caractère croissant et décroissant d'une suite.

Cahier de bord: Les conditions trouvées.

Exercices techniques:

• 41p25 bête et méchant
• 42p25 sans la question 1.c. Complexité pour trouver la raison

Étape 4: Algorithme et seuil

On va chercher à trouver comment déterminer au bout de combien de terme une suite atteint un seuil. Les élèves vont devoir écrire une texte donnant une recette (l'algorithme) pour réaliser cette tache.

On pourra s'appuyer sur des tableaux ou des graphiques pour faire des prévisions. Quitte à réutiliser les données de l'étape 2.

L'algorithme trouvé sera ensuite traduit en algorithme type bac, en calculatrice et en python. On pourra aussi utiliser le tableur.

Cahier de bord: Algorithme et utilisation de la calculatrice pour chercher un seuil.

Exercices techniques: calcul de seuil.