\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\title{Équations différentielles d'ordre 1: Annales}
\tribe{Terminale Tsti2d}
\date{Avril 2020}

\geometry{left=10mm,right=10mm, top=10mm}
\pagestyle{empty}

\begin{document}
\begin{exercise}[subtitle={Clinker}]
    Le clinker est un constituant du ciment qui résulte de la cuisson d'un mélange composé de calcaire et d'argile. La fabrication du clinker nécessite des fours à très haute température qui libèrent dans l'air une grande quantité de dioxyde de carbone (CO$_2$). 

    Dans une cimenterie, la fabrication du clinker s'effectue de 7 h 30 à 20 h, dans une pièce de volume \np{900000}~dm$^3$. 

    À 20 h, après une journée de travail, le taux volumique de CO$_2$ dans la pièce est de 0,6\,\%. 

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item Justifier que le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20 h est de \np{5400}~dm$^3$ . 
        \item Pour diminuer ce taux de CO$_2$ durant la nuit, l'entreprise a installé dans la pièce une colonne de ventilation. Le volume de CO$_2$, exprimé en dm$^3$, est alors modélisé par une fonction du temps $t$ écoulé après $20$~h, exprimé en minutes. $t$ varie ainsi dans l'intervalle [0~;~690] puisqu'il y a $690$ minutes entre 20 h et 7 h 30. 

            On admet que cette fonction $V$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~690] est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle 

            \[ \quad (E) : y' + 0, 01y = 4,5.\] 

            \begin{enumerate}
                \item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$. 
                \item Vérifier que pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~690], $V(t) = \np{4950} \text{e}^{-0,01t} + 450$. 
            \end{enumerate}
        \item Quel sera, au dm$^3$ près, le volume de CO$_2$ dans cette pièce à 21 h ? 
        \item Les responsables de la cimenterie affirment que chaque matin à 7 h 30 le taux de CO$_2$ dans cette pièce est inférieur à 0,06\,\%. 

            Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse. 

        \item  Déterminer l'heure à partir de laquelle le volume de CO$_2$ dans la pièce deviendra inférieur à 900 dm$^3$. 
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Essence}]
    L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.

    Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane. 

    La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$
    du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur
    l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante:

    \[(E)~:~y'+0,12y=0,003.\]

    À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).

    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item  Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
                \item Donner $f(0)$.
                \item Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+0,025$.
            \end{enumerate}
        \item
            \begin{enumerate}
                \item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
                \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
                \item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
            \end{enumerate}
        \item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
        \item
            \begin{enumerate}
                \item Par une lecture graphique, déterminer $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.

                    Interpréter le résultat dans le contexte.

                \item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\end{document}
