\begin{exercise}[subtitle={Découverte}, step={1}, origin={}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\searchMode}]
    On s'intéresse à l'effet d'une force (un vecteur) sur un déplacement (un autre vecteur).

    Ci-dessous un schéma représentant une luge que l'on souhaite faire avancer vers la droite (flèche noire). Pour cela, on dispose de plusieurs forces, représentées par des vecteurs (en dessous à droite).

    \noindent\begin{minipage}{0.4\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
            \tkzInit[xmin=-3,xmax=8,xstep=1,
            ymin=0,ymax=6,ystep=1]
            \tkzGrid
            \node[inner sep=0] at (0,1) {\includegraphics[width=2cm]{./fig/luge}};
            \fill (0, 1) circle (5pt);
            \draw[->, very thick] (0, 1) -- (5,1);
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}\hfill\begin{minipage}{0.55\textwidth}
        \begin{tikzpicture}[scale=0.7]
            \tkzInit[xmin=0,xmax=15,xstep=1,
            ymin=0,ymax=6,ystep=1]
            \tkzGrid
            \draw[->, very thick] (1, 1) -- (2, 4) node [midway, left] {$\vec{F_1}$};
            \draw[->, very thick] (4, 1) -- (4, 5) node [midway, left] {$\vec{F_2}$};
            \draw[->, very thick] (5, 1) -- (7, 2) node [midway, above] {$\vec{F_3}$};
            \draw[->, very thick] (5, 4) -- (7, 4) node [midway, above] {$\vec{F_4}$};
            \draw[->, very thick] (7, 1) -- (11, 2) node [midway, above] {$\vec{F_5}$};
            \draw[->, very thick] (14, 1) -- (12, 3) node [midway, above] {$\vec{F_{6}}$};
            \draw[->, very thick] (8, 4) -- (12, 4) node [midway, above] {$\vec{F_{7}}$};
        \end{tikzpicture}
    \end{minipage}

    Classer les forces en fonction de leur accompagnement du mouvement.
\end{exercise}

\begin{solution}
    Le produit scalaire $\vect{F}.\vect{d}$ mesure l'accompagnement de la force par rapport au déplacement.
    
    \textbf{Forces qui accompagnent le mouvement} (produit scalaire positif) :
    \begin{itemize}
        \item $\vect{F_3}$, $\vect{F_4}$, $\vect{F_5}$ et $\vect{F_7}$ : ces forces ont une composante dans la direction du mouvement (vers la droite).
    \end{itemize}
    
    \textbf{Forces qui s'opposent au mouvement} (produit scalaire négatif) :
    \begin{itemize}
\item $\vect{F_6}$ : cette force est orientée vers la gauche, elle s'oppose au mouvement.
    \end{itemize}
    
    \textbf{Forces perpendiculaires au mouvement} (produit scalaire nul) :
    \begin{itemize}
        \item $\vect{F_1}$ et $\vect{F_2}$ : ces forces sont verticales, perpendiculaires au déplacement horizontal.
    \end{itemize}
    
    \textbf{Classement par efficacité} : $\vect{F_7}$ et $\vect{F_4}$ (horizontales) sont les plus efficaces, puis $\vect{F_5}$, $\vect{F_3}$, puis $\vect{F_1}$ et $\vect{F_2}$ (inefficaces), et enfin $\vect{F_6}$ (contre-productive).
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Calculs de produits scalaire}, step={1}, origin={Sesamath}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
    Soit $ABCD$ un rectangle tel que $AB = 6$ et $AD = 4$. On note $O$ l'intersection des diagonales de ce rectangle.

    Calculer les produits scalaires suivants
    \begin{multicols}{4}
        \begin{enumerate}
            \item $\vect{AB}.\vect{AC}$
            \item $\vect{AB}.\vect{CA}$
            \item $\vect{DB}.\vect{DC}$
            \item $\vect{DC}.\vect{AC}$

            \item $\vect{AB}.\vect{AO}$
            \item $\vect{AB}.\vect{AB}$
            \item $\vect{AB}.\vect{AD}$
            \item $\vect{BC}.\vect{DC}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    On note $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. Comme $ABCD$ est un rectangle, $H = B$.
    
    \begin{enumerate}
        \item $\vect{AB}.\vect{AC} = AB \times AH = 6 \times 6 = 36$
        
        \item $\vect{AB}.\vect{CA} = -\vect{AB}.\vect{AC} = -36$
        
        \item Le projeté orthogonal de $C$ sur $(DB)$ est $B$ donc $\vect{DB}.\vect{DC} = DB \times DB = 0$ (car $B$ est en dehors de $[DB)$). En fait, on utilise plutôt : $\vect{DB}.\vect{DC} = -DB \times 0 = 0$ car $(DB) \perp (DC)$. Donc $\vect{DB}.\vect{DC} = 0$.
        
        \item Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AC)$ est $C$, donc $\vect{DC}.\vect{AC} = DC \times 0 = 0$ (car $(DC) \perp (AC)$ est faux). Utilisons la formule du cosinus : $\vect{DC}.\vect{AC} = DC \times AC \times \cos(\widehat{DCA})$. On a $DC = 6$, $AC = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$. Avec le projeté : le projeté de $C$ sur $(DC)$ depuis $A$ est $C$, donc $\vect{DC}.\vect{AC} = DC \times DC = 6 \times 6 = 36$.
        
        \item $O$ est le milieu de $[AC]$, donc le projeté de $O$ sur $(AB)$ est le milieu de $[AB]$, soit à distance $3$ de $A$. Donc $\vect{AB}.\vect{AO} = AB \times 3 = 6 \times 3 = 18$.
        
        \item $\vect{AB}.\vect{AB} = AB^2 = 36$
        
        \item $\vect{AB}.\vect{AD} = 0$ car $(AB) \perp (AD)$
        
        \item $\vect{BC}.\vect{DC} = BC \times DC = 4 \times 6 = 24$ (vecteurs colinéaires de même sens)
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Mesurer une longueur}, step={1}, origin={frederic-junier.org}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
    Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ tel que $AB = 4$ et $BC = 3$. On note $H$ le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(AC)$.
    \begin{enumerate}
        \item Faire un croquis codé de la situation.
        \item Démontrer que $\vect{AB}.\vect{AC} = 16$.
        \item En exprimant $\vect{AB}.\vect{AC}$ d'une autre façon, calculer la longueur $AH$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
        \begin{center}
            \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
                \tkzDefPoint(0,0){A}
                \tkzDefPoint(4,0){B}
                \tkzDefPoint(4,3){C}
                \tkzDefPoint(3.2,2.4){H}
                
                \tkzDrawPolygon(A,B,C)
                \tkzDrawSegment[dashed](B,H)
                \tkzMarkRightAngle[size=0.3](A,B,C)
                \tkzMarkRightAngle[size=0.3](B,H,A)
                
                \tkzDrawPoints(A,B,C,H)
                \tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
                \tkzLabelPoint[below right](B){$B$}
                \tkzLabelPoint[above right](C){$C$}
                \tkzLabelPoint[above left](H){$H$}
                
                \tkzLabelSegment[below](A,B){$4$}
                \tkzLabelSegment[right](B,C){$3$}
            \end{tikzpicture}
        \end{center}
        
        \item Le triangle $ABC$ est rectangle en $B$, donc les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{BC}$ sont orthogonaux.
        
        Par le théorème de Pythagore : $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
        
        Utilisons la formule du cosinus : $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB}{AC} = \frac{4}{5}$.
        
        Donc :
        \begin{align*}
            \vect{AB}.\vect{AC} &= AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) \\
            &= 4 \times 5 \times \frac{4}{5} \\
            &= 16
        \end{align*}
        
        \item Avec la définition du projeté orthogonal :
        \[
            \vect{AB}.\vect{AC} = AB \times AH
        \]
        
        On a donc $16 = 4 \times AH$, d'où $AH = 4$.
        
        Ainsi, $H = B$ (le projeté de $B$ sur $(AC)$ est en fait $B$ lui-même... ce qui est impossible). 
        
        \textbf{Correction} : En réalité, $\vect{AB}.\vect{AC} = AB \times AH = 4 \times AH = 16$, donc $AH = 4$.
        
        On peut vérifier : dans le triangle $ABH$ rectangle en $H$, on a $\cos(\widehat{BAH}) = \frac{AH}{AB} = \frac{AH}{4}$. Or $\cos(\widehat{BAC}) = \frac{4}{5}$, donc $\frac{AH}{4} = \frac{4}{5}$, d'où $AH = \frac{16}{5} = 3,2$.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Calculer un angle}, step={2}, origin={Sesamath}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
    Soit $ABC$ un triangle équilatéral de côté 8. On place $D$ le milieu de $[AB]$. On admettra que $CD = 4\sqrt{3}$.

    \begin{enumerate}
        \item Tracer la figure
        \item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$?
        \item Calculer le produit scalaires suivants
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $\vect{AB}.\vect{AC}$
                    \item $\vect{CA}.\vect{CD}$
                    \item $\vect{DA}.\vect{DB}$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
        \begin{center}
            \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
                \tkzDefPoint(0,0){A}
                \tkzDefPoint(8,0){B}
                \tkzDefPoint(4,6.93){C}
                \tkzDefPoint(4,0){D}
                
                \tkzDrawPolygon(A,B,C)
                \tkzDrawSegment(C,D)
                
                \tkzDrawPoints(A,B,C,D)
                \tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
                \tkzLabelPoint[below right](B){$B$}
                \tkzLabelPoint[above](C){$C$}
                \tkzLabelPoint[below](D){$D$}
                
                \tkzLabelSegment[below](A,B){$8$}
                \tkzLabelSegment[above left](A,C){$8$}
                \tkzLabelSegment[above right](B,C){$8$}
            \end{tikzpicture}
        \end{center}
        
        \item Dans un triangle équilatéral, tous les angles mesurent $60°$. Donc $\widehat{BAC} = 60°$.
        
        \item 
        \begin{enumerate}
            \item On utilise la formule du cosinus :
            \begin{align*}
                \vect{AB}.\vect{AC} &= AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) \\
                &= 8 \times 8 \times \cos(60°) \\
                &= 64 \times \frac{1}{2} \\
                &= 32
            \end{align*}
            
            \item Dans un triangle équilatéral, la médiane issue de $C$ est aussi la hauteur, donc $(CD) \perp (AB)$.
            
            L'angle $\widehat{ACD}$ peut être calculé. Dans le triangle $ACD$ rectangle en $D$, on a $\tan(\widehat{ACD}) = \frac{AD}{CD} = \frac{4}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, donc $\widehat{ACD} = 30°$.
            
            Ainsi $\widehat{DCA} = 30°$ et $\widehat{ACB} = 60°$, donc $\widehat{DCB} = 30°$ aussi.
            
            L'angle entre $\vect{CA}$ et $\vect{CD}$ est $180° - 30° = 150°$.
            
            \begin{align*}
                \vect{CA}.\vect{CD} &= CA \times CD \times \cos(150°) \\
                &= 8 \times 4\sqrt{3} \times \cos(150°) \\
                &= 32\sqrt{3} \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\
                &= -48
            \end{align*}
            
            \item $D$ est le milieu de $[AB]$, donc $DA = DB = 4$ et les vecteurs $\vect{DA}$ et $\vect{DB}$ sont opposés.
            
            Donc :
            \begin{align*}
                \vect{DA}.\vect{DB} &= -DA \times DB \\
                &= -4 \times 4 \\
                &= -16
            \end{align*}
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{solution} 

\begin{exercise}[subtitle={Livreur}, step={2}, origin={frederic-junier.org}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
    Un livreur doit pousser un chariot lourdement chargé depuis le camion de livraison jusqu'à l'entrée d'un magasin. Le parcours inclut une légère montée sur une distance de 30 mètres. Pour maintenir le chariot sur le chemin, le livreur applique une force constante. En raison de la montée, cette force fait un angle de 25° avec la direction de la montée.
    
    \fbox{
        \begin{minipage}{0.8\textwidth}
    \textit{Le travail $W$ d'une force $\vec{F}$ sur un déplacement $\vec{d}$ est donné par la formule :}
    
     \[W = \vec{F} \cdot \vec{d} = \|\vec{F}\| \times \|\vec{d}\| \times \cos(\theta)\]
    
    \textit{où $\theta$ est l'angle entre la force et la direction du déplacement. Le produit scalaire ici, $\vec{F} \cdot \vec{d}$, représente l'interaction entre deux vecteurs et leur contribution mutuelle dans une direction spécifique. Le travail est mesuré en Joules $(J)$, où 1 Joule est équivalent au travail réalisé par une force de 1 Newton agissant sur un objet et le déplaçant de 1 mètre dans la direction de la force.}
        \end{minipage}
    }

    \begin{enumerate}
        \item Faire un schéma de la situation puis calculer le travail réalisé par le livreur pour pousser le chariot jusqu'à l'entrée du magasin. La force appliquée par le livreur est de 200 Newtons.

        \item Si l'angle était de 0°, c'est-à-dire que la force était appliquée dans la même direction que le déplacement, quel aurait été le travail réalisé par le livreur ? Comment cela se compare-t-il au résultat de la première question ?
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On utilise la formule $W = \vect{F}.\vect{d} = \|\vect{F}\| \times \|\vect{d}\| \times \cos(\theta)$.
        
        Avec $\|\vect{F}\| = 200$ N, $\|\vect{d}\| = 30$ m et $\theta = 25°$ :
        \begin{align*}
            W &= 200 \times 30 \times \cos(25°) \\
            &= 6000 \times 0,906 \\
            &\approx 5436 \text{ J}
        \end{align*}
        
        Le travail réalisé est d'environ $5436$ joules.
        
        \item Si l'angle était de $0°$, alors $\cos(0°) = 1$ :
        \begin{align*}
            W &= 200 \times 30 \times 1 \\
            &= 6000 \text{ J}
        \end{align*}
        
        Le travail aurait été de $6000$ joules.
        
        \textbf{Comparaison} : Le travail avec un angle de $25°$ est inférieur au travail avec un angle de $0°$. En effet, une partie de la force est "perdue" car elle n'est pas dans la direction du déplacement. Le rapport est $\frac{5436}{6000} \approx 0,906 = \cos(25°)$, ce qui montre que seule la composante de la force dans la direction du déplacement contribue au travail.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Calculer un produit scalaire avec un angle}, step={2}, origin={Sesamath}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
    Calculer le produit scalaire $\vect{u}.\vect{v}$ pour les cas suivants
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $\|\vect{u}\| = 5$, $\|\vect{v}\| = 3$ et $\widehat{(\vect{u}, \vect{v})} = \frac{3\pi}{4}$
            \item $\|\vect{u}\| = 4$, $\|\vect{v}\| = 6$ et $\widehat{(\vect{u}, \vect{v})} = \frac{2\pi}{3}$
            \item $\|\vect{u}\| = 6$, $\|\vect{v}\| = 4$ et $\widehat{(\vect{u}, \vect{v})} = \frac{\pi}{6}$
            \item $\|\vect{u}\| = 8$, $\|\vect{v}\| = 5$ et $\widehat{(\vect{u}, \vect{v})} = \frac{\pi}{4}$
            \item $\|\vect{u}\| = 10$, $\|\vect{v}\| = 3$ et $\widehat{(\vect{u}, \vect{v})} = \frac{\pi}{3}$
            \item $\|\vect{u}\| = 7$, $\|\vect{v}\| = 2$ et $\widehat{(\vect{u}, \vect{v})} = \frac{5\pi}{6}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    On utilise la formule du cosinus : $\vect{u}.\vect{v} = \|\vect{u}\| \times \|\vect{v}\| \times \cos(\theta)$.
    
    \begin{enumerate}
        \item 
        \begin{align*}
            \vect{u}.\vect{v} &= 5 \times 3 \times \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) \\
            &= 15 \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \\
            &= -\frac{15\sqrt{2}}{2} \\
            &\approx -10,6
        \end{align*}
        
        Le produit scalaire est négatif car l'angle est obtus.
        
        \item 
        \begin{align*}
            \vect{u}.\vect{v} &= 4 \times 6 \times \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) \\
            &= 24 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \\
            &= -12
        \end{align*}
        
        Le produit scalaire est négatif car l'angle est obtus ($\frac{2\pi}{3} = 120°$).
        
        \item 
        \begin{align*}
            \vect{u}.\vect{v} &= 6 \times 4 \times \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \\
            &= 24 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\
            &= 12\sqrt{3} \\
            &\approx 20,8
        \end{align*}
        
        Le produit scalaire est positif car l'angle est aigu ($\frac{\pi}{6} = 30°$).
        
        \item 
        \begin{align*}
            \vect{u}.\vect{v} &= 8 \times 5 \times \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \\
            &= 40 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \\
            &= 20\sqrt{2} \\
            &\approx 28,3
        \end{align*}
        
        Le produit scalaire est positif car l'angle est aigu ($\frac{\pi}{4} = 45°$).
        
        \item 
        \begin{align*}
            \vect{u}.\vect{v} &= 10 \times 3 \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \\
            &= 30 \times \frac{1}{2} \\
            &= 15
        \end{align*}
        
        Le produit scalaire est positif car l'angle est aigu ($\frac{\pi}{3} = 60°$).
        
        \item 
        \begin{align*}
            \vect{u}.\vect{v} &= 7 \times 2 \times \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) \\
            &= 14 \times \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\
            &= -7\sqrt{3} \\
            &\approx -12,1
        \end{align*}
        
        Le produit scalaire est négatif car l'angle est obtus ($\frac{5\pi}{6} = 150°$).
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Retrouver un angle}, step={2}, origin={}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
    Pour chacune des situations suivantes, calculer la mesure de l'angle entre les deux vecteurs.
    \begin{enumerate}
        \item Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 5$, $AC = 6$ et $\vect{AB}.\vect{AC} = 15$. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$.
        \item Deux vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ vérifient $\|\vect{u}\| = 8$, $\|\vect{v}\| = 4$ et $\vect{u}.\vect{v} = 16\sqrt{3}$. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{(\vect{u}, \vect{v})}$.
        \item Soit $DEF$ un triangle tel que $DE = 10$, $DF = 5$ et $\vect{DE}.\vect{DF} = 25\sqrt{2}$. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{EDF}$.
        \item Deux vecteurs $\vect{a}$ et $\vect{b}$ vérifient $\|\vect{a}\| = 6$, $\|\vect{b}\| = 9$ et $\vect{a}.\vect{b} = -27$. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{(\vect{a}, \vect{b})}$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    On utilise la formule du cosinus : $\vect{u}.\vect{v} = \|\vect{u}\| \times \|\vect{v}\| \times \cos(\theta)$, d'où $\cos(\theta) = \frac{\vect{u}.\vect{v}}{\|\vect{u}\| \times \|\vect{v}\|}$.
    
    \begin{enumerate}
        \item 
        \begin{align*}
            \cos(\widehat{BAC}) &= \frac{\vect{AB}.\vect{AC}}{AB \times AC} \\
            &= \frac{15}{5 \times 6} \\
            &= \frac{15}{30} \\
            &= \frac{1}{2}
        \end{align*}
        
        On sait que $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, donc $\widehat{BAC} = \frac{\pi}{3}$ rad.
        
        \item 
        \begin{align*}
            \cos(\widehat{(\vect{u}, \vect{v})}) &= \frac{\vect{u}.\vect{v}}{\|\vect{u}\| \times \|\vect{v}\|} \\
            &= \frac{16\sqrt{3}}{8 \times 4} \\
            &= \frac{16\sqrt{3}}{32} \\
            &= \frac{\sqrt{3}}{2}
        \end{align*}
        
        On sait que $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\widehat{(\vect{u}, \vect{v})} = \frac{\pi}{6}$ rad.
        
        \item 
        \begin{align*}
            \cos(\widehat{EDF}) &= \frac{\vect{DE}.\vect{DF}}{DE \times DF} \\
            &= \frac{25\sqrt{2}}{10 \times 5} \\
            &= \frac{25\sqrt{2}}{50} \\
            &= \frac{\sqrt{2}}{2}
        \end{align*}
        
        On sait que $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, donc $\widehat{EDF} = \frac{\pi}{4}$ rad.
        
        \item 
        \begin{align*}
            \cos(\widehat{(\vect{a}, \vect{b})}) &= \frac{\vect{a}.\vect{b}}{\|\vect{a}\| \times \|\vect{b}\|} \\
            &= \frac{-27}{6 \times 9} \\
            &= \frac{-27}{54} \\
            &= -\frac{1}{2}
        \end{align*}
        
        On sait que $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$, donc $\widehat{(\vect{a}, \vect{b})} = \frac{2\pi}{3}$ rad.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Carré scalaire et calcul de norme}, step={2}, origin={}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
    On considère deux vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{v}$ tels que $\|\vect{u}\| = 3$, $\|\vect{v}\| = 4$ et $\vect{u}.\vect{v} = 6$.
    
    On pose $\vect{w} = \vect{u} + \vect{v}$.
    
    \begin{enumerate}
        \item Développer $\vect{w}.\vect{w} = (\vect{u} + \vect{v}).(\vect{u} + \vect{v})$.
        \item Calculer la valeur de $\vect{w}.\vect{w}$.
        \item En déduire la norme $\|\vect{w}\|$.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On développe en utilisant la bilinéarité du produit scalaire :
        \begin{align*}
            \vect{w}.\vect{w} &= (\vect{u} + \vect{v}).(\vect{u} + \vect{v}) \\
            &= \vect{u}.(\vect{u} + \vect{v}) + \vect{v}.(\vect{u} + \vect{v}) \\
            &= \vect{u}.\vect{u} + \vect{u}.\vect{v} + \vect{v}.\vect{u} + \vect{v}.\vect{v} \\
            &= \vect{u}.\vect{u} + 2\vect{u}.\vect{v} + \vect{v}.\vect{v}
        \end{align*}
        
        On utilise la propriété du carré scalaire : $\vect{u}.\vect{u} = \|\vect{u}\|^2$ et $\vect{v}.\vect{v} = \|\vect{v}\|^2$.
        
        Donc :
        \[
            \vect{w}.\vect{w} = \|\vect{u}\|^2 + 2\vect{u}.\vect{v} + \|\vect{v}\|^2
        \]
        
        \item On remplace par les valeurs données :
        \begin{align*}
            \vect{w}.\vect{w} &= 3^2 + 2 \times 6 + 4^2 \\
            &= 9 + 12 + 16 \\
            &= 37
        \end{align*}
        
        \item On utilise la propriété $\vect{w}.\vect{w} = \|\vect{w}\|^2$ :
        \begin{align*}
            \|\vect{w}\|^2 &= 37 \\
            \|\vect{w}\| &= \sqrt{37} \\
            \|\vect{w}\| &\approx 6,08
        \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Démonter l'orthogonalité}, step={3}, origin={Sesamath}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
    Dans un carré $ABCD$ de côté 6, on construit $I$ le milieu de $[AB]$, le point $K$ tel que $\vect{AK} = \frac{1}{4} \vect{AD}$ et le point $J$ tel que $\vect{CJ} = \frac{1}{4}\vect{CB}$.
    \begin{enumerate}
        \item Faire un croquis de la figure.
        \item Calculer les produits scalaire $\vect{KJ}.\vect{DA}$ et $\vect{KJ}.\vect{AI}$.
        \item En déduire la valeur de $\vect{KJ}.\vect{DI}$ puis que $(KJ)$ et $(DI)$ sont perpendiculaires.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
        \begin{center}
            \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
                \tkzDefPoint(0,0){A}
                \tkzDefPoint(6,0){B}
                \tkzDefPoint(6,6){C}
                \tkzDefPoint(0,6){D}
                \tkzDefPoint(3,0){I}
                \tkzDefPoint(0,1.5){K}
                \tkzDefPoint(4.5,6){J}
                
                \tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
                \tkzDrawSegments[color=blue](K,J D,I)
                
                \tkzDrawPoints(A,B,C,D,I,K,J)
                \tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
                \tkzLabelPoint[below right](B){$B$}
                \tkzLabelPoint[above right](C){$C$}
                \tkzLabelPoint[above left](D){$D$}
                \tkzLabelPoint[below](I){$I$}
                \tkzLabelPoint[left](K){$K$}
                \tkzLabelPoint[above](J){$J$}
            \end{tikzpicture}
        \end{center}
        
        \item On utilise la relation de Chasles pour exprimer $\vect{KJ}$ :
        \[
            \vect{KJ} = \vect{KA} + \vect{AB} + \vect{BJ}
        \]
        
        Or $\vect{KA} = -\vect{AK} = -\frac{1}{4}\vect{AD}$ et $\vect{BJ} = \vect{BC} + \vect{CJ} = \vect{BC} + \frac{1}{4}\vect{CB} = \vect{BC} - \frac{1}{4}\vect{BC} = \frac{3}{4}\vect{BC}$.
        
        Donc :
        \[
            \vect{KJ} = -\frac{1}{4}\vect{AD} + \vect{AB} + \frac{3}{4}\vect{BC}
        \]
        
        Comme $ABCD$ est un carré, $\vect{BC} = \vect{AD}$, donc :
        \[
            \vect{KJ} = -\frac{1}{4}\vect{AD} + \vect{AB} + \frac{3}{4}\vect{AD} = \vect{AB} + \frac{1}{2}\vect{AD}
        \]
        
        \textbf{Calcul de $\vect{KJ}.\vect{DA}$} :
        \begin{align*}
            \vect{KJ}.\vect{DA} &= (\vect{AB} + \frac{1}{2}\vect{AD}).\vect{DA} \\
            &= \vect{AB}.\vect{DA} + \frac{1}{2}\vect{AD}.\vect{DA} \\
            &= 0 + \frac{1}{2}(-AD^2) \\
            &= -\frac{1}{2} \times 36 \\
            &= -18
        \end{align*}
        
        \textbf{Calcul de $\vect{KJ}.\vect{AI}$} :
        
        $I$ est le milieu de $[AB]$, donc $\vect{AI} = \frac{1}{2}\vect{AB}$.
        
        \begin{align*}
            \vect{KJ}.\vect{AI} &= (\vect{AB} + \frac{1}{2}\vect{AD}).\frac{1}{2}\vect{AB} \\
            &= \frac{1}{2}\vect{AB}.\vect{AB} + \frac{1}{4}\vect{AD}.\vect{AB} \\
            &= \frac{1}{2} \times 36 + 0 \\
            &= 18
        \end{align*}
        
        \item On utilise la relation de Chasles : $\vect{DI} = \vect{DA} + \vect{AI}$.
        
        Donc :
        \begin{align*}
            \vect{KJ}.\vect{DI} &= \vect{KJ}.(\vect{DA} + \vect{AI}) \\
            &= \vect{KJ}.\vect{DA} + \vect{KJ}.\vect{AI} \\
            &= -18 + 18 \\
            &= 0
        \end{align*}
        
        Comme $\vect{KJ}.\vect{DI} = 0$, les vecteurs $\vect{KJ}$ et $\vect{DI}$ sont orthogonaux.
        
        Donc les droites $(KJ)$ et $(DI)$ sont perpendiculaires.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Démonter l'orthogonalité Bis}, step={3}, origin={frederic-junier.org}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
    Soit $ABCD$ un carré de côté de longueur $l$ et $M$ et $N$ deux points tels que $\vect{CM} = \frac{1}{2}\vect{BC}$ et $\vect{BN} = \frac{1}{2}\vect{AB}$.

    \begin{enumerate}
        \item Faire une figure.
        \item Décomposer le vecteur $\vect{DN}$ à l'aide de la relation de Chasles en passant par $A$.
        \item Idem pour le vecteur $\vect{AM}$  en passant par $B$.
        \item Calculer le produit scalaire de $\vect{DN}.\vect{AM}$ et en déduire que $(DN)$ et $(AM)$ sont perpendiculaires.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
        \begin{center}
            \begin{tikzpicture}[scale=1]
                \tkzDefPoint(0,0){A}
                \tkzDefPoint(4,0){B}
                \tkzDefPoint(4,4){C}
                \tkzDefPoint(0,4){D}
                \tkzDefPoint(2,0){N}
                \tkzDefPoint(4,2){M}
                
                \tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
                \tkzDrawSegments[color=blue](D,N A,M)
                
                \tkzDrawPoints(A,B,C,D,M,N)
                \tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
                \tkzLabelPoint[below right](B){$B$}
                \tkzLabelPoint[above right](C){$C$}
                \tkzLabelPoint[above left](D){$D$}
                \tkzLabelPoint[right](M){$M$}
                \tkzLabelPoint[below](N){$N$}
            \end{tikzpicture}
        \end{center}
        
        \item On décompose $\vect{DN}$ en passant par $A$ :
        \begin{align*}
            \vect{DN} &= \vect{DA} + \vect{AN} \\
            &= \vect{DA} + \vect{AB} + \vect{BN} \\
            &= \vect{DA} + \vect{AB} + \frac{1}{2}\vect{AB} \\
            &= \vect{DA} + \frac{3}{2}\vect{AB}
        \end{align*}
        
        \item On décompose $\vect{AM}$ en passant par $B$ :
        \begin{align*}
            \vect{AM} &= \vect{AB} + \vect{BM} \\
            &= \vect{AB} + \vect{BC} + \vect{CM} \\
            &= \vect{AB} + \vect{BC} + \frac{1}{2}\vect{BC} \\
            &= \vect{AB} + \frac{3}{2}\vect{BC}
        \end{align*}
        
        Comme $ABCD$ est un carré, $\vect{BC} = \vect{AD} = -\vect{DA}$, donc :
        \[
            \vect{AM} = \vect{AB} - \frac{3}{2}\vect{DA}
        \]
        
        \item On calcule le produit scalaire :
        \begin{align*}
            \vect{DN}.\vect{AM} &= (\vect{DA} + \frac{3}{2}\vect{AB}).(\vect{AB} - \frac{3}{2}\vect{DA}) \\
            &= \vect{DA}.\vect{AB} - \frac{3}{2}\vect{DA}.\vect{DA} + \frac{3}{2}\vect{AB}.\vect{AB} - \frac{9}{4}\vect{AB}.\vect{DA}
        \end{align*}
        
        Dans un carré, $\vect{DA} \perp \vect{AB}$, donc $\vect{DA}.\vect{AB} = 0$ et $\vect{AB}.\vect{DA} = 0$.
        
        De plus, $\vect{DA}.\vect{DA} = DA^2 = l^2$ et $\vect{AB}.\vect{AB} = AB^2 = l^2$.
        
        Donc :
        \begin{align*}
            \vect{DN}.\vect{AM} &= 0 - \frac{3}{2}l^2 + \frac{3}{2}l^2 - 0 \\
            &= 0
        \end{align*}
        
        Comme $\vect{DN}.\vect{AM} = 0$, les vecteurs $\vect{DN}$ et $\vect{AM}$ sont orthogonaux.
        
        Donc les droites $(DN)$ et $(AM)$ sont perpendiculaires.
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Format Commercial}, step={3}, origin={Sesamath}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\trainMode}]
    Soit $ABCD$ un rectangle de longueur $AD = b$ et de largeur $AB = a$.

    On place le point $I$ au milieu du côté $[BC]$. Et on note $M$ l'intersection des droites $(AI)$ et $(DB)$.

    On souhaite démontrer la propriété suivante: 
    \begin{center}
        $(AI)$ et $(DB)$ sont perpendiculaires si et seulement si $b = a \sqrt{2}$.
    \end{center}
    \begin{enumerate}
        \item Faire un croquis annoté de la situation.
        \item En décomposant $\vect{DB}$ avec la relation de Chasles, exprimer $\vect{AI}.\vect{BD}$ en fonction de $a$ et de $b$.
        \item Démontrer la propriété.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
        \begin{center}
            \begin{tikzpicture}[scale=0.8]
                \tkzDefPoint(0,0){A}
                \tkzDefPoint(4,0){B}
                \tkzDefPoint(4,6){C}
                \tkzDefPoint(0,6){D}
                \tkzDefPoint(4,3){I}
                
                \tkzDrawPolygon(A,B,C,D)
                \tkzDrawSegments[color=blue](A,I D,B)
                
                \tkzDrawPoints(A,B,C,D,I)
                \tkzLabelPoint[below left](A){$A$}
                \tkzLabelPoint[below right](B){$B$}
                \tkzLabelPoint[above right](C){$C$}
                \tkzLabelPoint[above left](D){$D$}
                \tkzLabelPoint[right](I){$I$}
                
                \tkzLabelSegment[below](A,B){$a$}
                \tkzLabelSegment[left](A,D){$b$}
            \end{tikzpicture}
        \end{center}
        
        \item On décompose $\vect{AI}$ : $I$ est le milieu de $[BC]$, donc :
        \[
            \vect{AI} = \vect{AB} + \vect{BI} = \vect{AB} + \frac{1}{2}\vect{BC}
        \]
        
        Comme $ABCD$ est un rectangle, $\vect{BC} = \vect{AD}$, donc :
        \[
            \vect{AI} = \vect{AB} + \frac{1}{2}\vect{AD}
        \]
        
        On décompose $\vect{BD}$ :
        \[
            \vect{BD} = \vect{BA} + \vect{AD} = -\vect{AB} + \vect{AD}
        \]
        
        On calcule le produit scalaire :
        \begin{align*}
            \vect{AI}.\vect{BD} &= (\vect{AB} + \frac{1}{2}\vect{AD}).(-\vect{AB} + \vect{AD}) \\
            &= -\vect{AB}.\vect{AB} + \vect{AB}.\vect{AD} - \frac{1}{2}\vect{AD}.\vect{AB} + \frac{1}{2}\vect{AD}.\vect{AD}
        \end{align*}
        
        Dans un rectangle, $\vect{AB} \perp \vect{AD}$, donc $\vect{AB}.\vect{AD} = 0$.
        
        De plus, $\vect{AB}.\vect{AB} = a^2$ et $\vect{AD}.\vect{AD} = b^2$.
        
        Donc :
        \begin{align*}
            \vect{AI}.\vect{BD} &= -a^2 + 0 - 0 + \frac{1}{2}b^2 \\
            &= \frac{b^2}{2} - a^2 \\
            &= \frac{b^2 - 2a^2}{2}
        \end{align*}
        
        \item $(AI)$ et $(DB)$ sont perpendiculaires si et seulement si $\vect{AI}.\vect{BD} = 0$.
        
        Donc :
        \begin{align*}
            \vect{AI}.\vect{BD} = 0 &\Leftrightarrow \frac{b^2 - 2a^2}{2} = 0 \\
            &\Leftrightarrow b^2 - 2a^2 = 0 \\
            &\Leftrightarrow b^2 = 2a^2 \\
            &\Leftrightarrow b = a\sqrt{2} \quad \text{(car } b > 0\text{)}
        \end{align*}
        
        Ainsi, $(AI)$ et $(DB)$ sont perpendiculaires si et seulement si $b = a\sqrt{2}$.
        
        Cela signifie que le rectangle doit avoir un rapport longueur/largeur égal à $\sqrt{2}$, ce qui correspond au format A4 !
    \end{enumerate}
\end{solution}


\begin{exercise}[subtitle={Formule d'Al-Kashi}, step={3}, origin={}, topics={ Produit Scalaire - projeté orthogonal }, tags={ géométrie, trigonométrie, vecteurs, Produit Scalaire }, mode={\paperMode}]
    La formule d'Al-Kashi (ou loi des cosinus) permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle quelconque. Pour un triangle $ABC$, elle s'énonce ainsi :
    
    \begin{center}
        \fbox{$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$}
    \end{center}
    
    \begin{enumerate}
        \item Démontrer cette formule en utilisant le produit scalaire.
        
        \textit{Indication : Exprimer $\vect{BC}$ à l'aide de la relation de Chasles, puis calculer $\vect{BC}.\vect{BC}$.}
        
        \item \textbf{Applications :}
        \begin{enumerate}
            \item Un triangle $ABC$ vérifie $AB = 7$, $AC = 5$ et $\widehat{BAC} = 60°$. Calculer la longueur $BC$.
            
            \item Un triangle $DEF$ vérifie $DE = 8$, $DF = 6$ et $\widehat{EDF} = 120°$. Calculer la longueur $EF$.
            
            \item Un triangle $PQR$ vérifie $PQ = 10$, $PR = 12$ et $QR = 15$. Calculer la mesure de l'angle $\widehat{QPR}$.
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On utilise la relation de Chasles pour exprimer $\vect{BC}$ :
        \[
            \vect{BC} = \vect{BA} + \vect{AC} = -\vect{AB} + \vect{AC} = \vect{AC} - \vect{AB}
        \]
        
        On calcule le carré scalaire $\vect{BC}.\vect{BC}$ :
        \begin{align*}
            \vect{BC}.\vect{BC} &= (\vect{AC} - \vect{AB}).(\vect{AC} - \vect{AB}) \\
            &= \vect{AC}.\vect{AC} - \vect{AC}).\vect{AB} - \vect{AB}.\vect{AC} + \vect{AB}.\vect{AB} \\
            &= \vect{AB}.\vect{AB} - 2\vect{AB}.\vect{AC} + \vect{AC}.\vect{AC}
        \end{align*}
        
        Or $\vect{BC}.\vect{BC} = BC^2$, $\vect{AB}.\vect{AB} = AB^2$, $\vect{AC}.\vect{AC} = AC^2$ et $\vect{AB}.\vect{AC} = AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})$.
        
        Donc :
        \begin{align*}
            BC^2 &= AB^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) + AC^2 \\
            BC^2 &= AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC})
        \end{align*}
        
        \item \textbf{Applications :}
        \begin{enumerate}
            \item On applique la formule d'Al-Kashi :
            \begin{align*}
                BC^2 &= AB^2 + AC^2 - 2 \times AB \times AC \times \cos(\widehat{BAC}) \\
                &= 7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \times \cos(60°) \\
                &= 49 + 25 - 70 \times \frac{1}{2} \\
                &= 74 - 35 \\
                &= 39
            \end{align*}
            
            Donc $BC = \sqrt{39} \approx 6,24$.
            
            \item On applique la formule d'Al-Kashi :
            \begin{align*}
                EF^2 &= DE^2 + DF^2 - 2 \times DE \times DF \times \cos(\widehat{EDF}) \\
                &= 8^2 + 6^2 - 2 \times 8 \times 6 \times \cos(120°) \\
                &= 64 + 36 - 96 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \\
                &= 100 + 48 \\
                &= 148
            \end{align*}
            
            Donc $EF = \sqrt{148} = 2\sqrt{37} \approx 12,17$.
            
            \item On utilise la formule d'Al-Kashi pour retrouver l'angle :
            \[
                QR^2 = PQ^2 + PR^2 - 2 \times PQ \times PR \times \cos(\widehat{QPR})
            \]
            
            On isole $\cos(\widehat{QPR})$ :
            \begin{align*}
                15^2 &= 10^2 + 12^2 - 2 \times 10 \times 12 \times \cos(\widehat{QPR}) \\
                225 &= 100 + 144 - 240 \times \cos(\widehat{QPR}) \\
                225 &= 244 - 240 \times \cos(\widehat{QPR}) \\
                240 \times \cos(\widehat{QPR}) &= 244 - 225 \\
                240 \times \cos(\widehat{QPR}) &= 19 \\
                \cos(\widehat{QPR}) &= \frac{19}{240} \\
                \cos(\widehat{QPR}) &\approx 0,0792
            \end{align*}
            
            Donc $\widehat{QPR} \approx 85,5°$ (ou $\approx 1,49$ rad).
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{solution}
