Nombre dérivé et tangente

Contenus

Point de vue local: approche graphique de la notion de nombre dérivé: - sécantes à une courbe passant par un point donné ; taux de variation en un point ; - tangente à une courbe en un point, définie comme position limite des sécantes passant par ce point ; - nombre dérivé en un point défini comme limite du taux de variation en ce point ; - équation déduite de la tangente en un point

Capacités attendues

• Interpréter géométriquement le nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente.
• Construire la tangente à une courbe en un point.
• Déterminer l’équation réduite de la tangente à une courbe en un point.

Commentaires

• La notion de nombre dérivé gagne à être illustrée dans des contextes variés :

  • dans le cadre d’un mouvement rectiligne, il est possible d’interpréter le taux de variation de la position du point mobile entre deux instants comme une vitesse moyenne et le nombre dérivé comme une vitesse instantanée ;
  • dans un cadre économique, le nombre dérivé est relié au coût marginal.

• À l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, on visualise la position limite des sécantes à une courbe en un point.

• Il est recommandé de ne pas donner la définition formelle de la notion de limite et de s’en tenir à une approche intuitive à partir d’exemples. Le vocabulaire et la notation correspondants sont introduits à l’occasion du travail sur la notion de nombre dérivé.

• Il est possible de démontrer que la dérivée d’une fonction monotone est de signe

Étape 1: Taux d'accroissement

Un ensemble de données économiques prises à des intervalles de temps différents. On demande aux élèves de représenter ces données sur un graphique et ils devront proposer une façon de classer les périodes en fonction celles qui ont vu une croissance la plus rapide.

On demandera ensuite aux élèves de trouver une façon visuelle et une façon calculatoire pour justifier ce classement.

Bilan: calculs et classement des périodes. Définition du taux d'accroissement et lien avec le calcul d'une vitesse.

Étape 2: Tangente

Trois exercices où les élèves trouvent des images, tracent des droites et calculent le taux d'accroissement. À chaque fois, on part d'un seul point puis on se rapproche de plus en plus.

Un exercice se base sur la lecture graphique, le suivant sur une formule et le dernier sur un programme qui calcul des images.

Bilan: Notion de tangente et taux de variations d'une fonction

Étape 3: Nombre dérivé

Lire graphiquement un coefficient directeur d'une droite (d'une tangente plus particulièrement), tracer une tangente à partir du nombre dérivé.

Bilan: nombre dérivé

Étape 4: Programmation et hamster

Activité à ceux qui auront avancés vite.

Activité avec de programmation python , où l'on reprend un peu tout