Nombre dérivé

Éléments du programme

Contenus

Variation instantanée (nombre dérivé) Tangente à une courbe en un point. Nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente.

Capacités attendues

Interpréter le nombre dérivé dans le cadre d'un modèle d'évolution.
Interpréter géométriquement le nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente.

Commentaires

Contextes proposés:

Sciences de la vie: Courbe de croissance d'un enfant.
Physique: Vitesse instantanée d'un mobile animé d'un mouvement rectiligne.
Chimie: Vitesse d'apparition d'un produit ou de disparition d'un réactif dans une réaction chimique.

Progression

Étape 1: Taux de variation

À partir de la vitesse, on construit la notion de taux de variation (déjà rencontré lors de la recherche d'équation de droite). Cette notion permet de quantifier comment une fonction change localement et introduit le concept fondamental d'instantanéité.

Contenu du bilan :

Définition du taux de variation d'une fonction entre deux points
Formule du taux de variation : (f(b) - f(a)) / (b - a)
Interprétation géométrique : pente de la sécante
Applications à des situations de vitesse moyenne et taux d'évolution

Étape 2: Tangente et nombre dérivé

Approche de la vitesse instantanée et introduction du nombre dérivé comme limite du taux de variation. Interprétation géométrique du nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente à la courbe en un point.

Bilan sur la tangente et le nombre dérivé

Contenu du bilan :

Notion d'instantanéité et passage du taux moyen au taux instantané
Définition du nombre dérivé comme limite d'un taux de variation
Interprétation géométrique : coefficient directeur de la tangente
Équation de la tangente à une courbe en un point

Étape 3: Tangente et nombre dérivé dans un contexte

Application des notions de taux de variation et de nombre dérivé à des contextes réels (sciences de la vie, physique, chimie). Interprétation physique et biologique du nombre dérivé dans différents modèles d'évolution.