Fonction puissance

Contenus

• Introduction de la fonction x ↦ ax (ax > 0, x ⩾ 0).
• Propriétés algébriques (admises, par extension des
• propriétés des puissances entières).
• Variations.
• Représentation graphique.
• Cas particulier de l'exposant 1/n.
• Taux d'évolution moyen correspondant à n évolutions successives.

Capacités attendues

• Reconnaître un phénomène discret ou continu de croissance exponentielle et savoir le modéliser.
• Calculer un taux d'évolution moyen.
• Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d'une suite géométrique ou d'une fonction exponentielle.
• Résoudre un problème de seuil dans le cas d'une croissance exponentielle par le calcul, à l'aide d'une représentation graphique ou en utilisant un outil numérique.

Commentaires

Étape 1: Découverte de la fonction exponentielle/puissance

Cette première étape introduit la fonction puissance comme prolongement continu d'une suite géométrique. Les élèves étudient les propriétés algébriques, les variations et la représentation graphique de la fonction $x mapsto a^x$.

Contenu du bilan :

• Définition de la fonction exponentielle (puissance) de base $a > 0$
• Valeurs remarquables : $f(0) = 1$, $f(1) = a$
• Variations selon que $a > 1$ ou $0 < a < 1$
• Représentation graphique et propriétés algébriques

Étape 2: Taux d'évolution moyen

Cette deuxième étape applique la fonction puissance au calcul du taux d'évolution moyen. Les élèves utilisent la racine $n$-ième pour décomposer une évolution globale en évolutions successives égales.

Contenu du bilan :

• Définition du coefficient multiplicateur moyen $CM_m = CM_g^{1/n}$
• Calcul du taux d'évolution moyen $t_m = CM_m - 1$
• Application à des phénomènes de croissance ou décroissance

Ressources complémentaires

Les solutions détaillées de tous les exercices de la séquence sont disponibles dans le document suivant :