Suite géométrique

Contenus

• Suites géométriques à termes strictement positifs
• Définition par relation de récurrence.
• Explicitation du terme de rang n.
• Sens de variation.
• Représentation graphique.

Capacités attendues

• Reconnaître un phénomène discret ou continu de croissance exponentielle et savoir le modéliser.
• Calculer un terme de rang donné d'une suite géométrique définie par une relation fonctionnelle ou une relation de récurrence.
• Réaliser et exploiter la représentation graphique des termes d'une suite géométrique ou d'une fonction exponentielle.
• Résoudre un problème de seuil dans le cas d'une croissance exponentielle par le calcul, à l'aide d'une représentation graphique ou en utilisant un outil numérique

Situations

Sciences de la vie: Élimination d'une substance dans le sang. Dénombrement: Motifs géométriques évolutifs (triangle de Sierpinski, etc.). Éducation économique, financière et budgétaire: Emprunt, placement à intérêts composés, gestion d'une dette, croissance d'un poste budgétaire.

Étape 1: Évolution exponentielle et suite géométrique

Cette première étape introduit la notion de suite géométrique pour modéliser les phénomènes de croissance exponentielle. Les élèves apprennent à reconnaître une suite géométrique, à calculer ses termes par récurrence ou avec la formule explicite, et à interpréter sa représentation graphique.

Contenu du bilan :

• Définition d'une suite géométrique et de sa raison
• Calcul de proche en proche (récurrence) : u(n+1) = u(n) × q
• Formule explicite : u(n) = u(0) × q^n
• Représentation graphique (courbe exponentielle)
• Méthode pour retrouver la raison à partir de valeurs connues

Étape 2: Taux d'évolution et coefficient multiplicateur

Cette deuxième étape établit le lien entre les suites géométriques et les situations concrètes d'évolution en pourcentage. Les élèves apprennent à passer du taux d'évolution au coefficient multiplicateur et inversement.

Contenu du bilan :

• Définition du coefficient multiplicateur : CM = 1 + t
• Calcul du taux d'évolution : t = (v_f - v_i) / v_i
• Calcul du coefficient multiplicateur : CM = v_f / v_i
• Applications aux augmentations et diminutions en pourcentage

Ressources complémentaires

Les solutions détaillées de tous les exercices de la séquence sont disponibles dans le document suivant :