Suites et moyennes

Contenus

• moyenne arithmétique et géométrique de deux nombres

Capacités attendues

• Prouver que trois nombres sont (ou ne sont pas) les termes consécutifs d’une suite arithmétique ou géométrique.
• Déterminer la raison d’une suite arithmétique ou géométrique modélisant une évolution.
• Déterminer la valeur d'un terme d'une suite entre deux autres.
• Déterminer la raison d'une suite quand on a deux termes distant d'un indice.

Automatismes

• interpréter un indice de base 100 ; calculer un indice ; calculer le taux d’évolution entre deux valeurs ;
• passer d’une formulation additive (« augmenter de 5 % », respectivement « diminuer de 5 % ») à une formulation multiplicative (« multiplier par 1,05 », respectivement « multiplier par 0,95 ») ;
• appliquer un taux d’évolution pour calculer une valeur finale ou initiale ;
• calculer un taux d’évolution, l’exprimer en pourcentage ;
• reconnaître une situation contextualisée se modélisant par une suite géométrique dont on identifie la raison.

Commentaires

Cette séquence permet de faire le lien entre les suites arithmétiques et géométriques vues en séquence 1 et les notions de moyennes. Elle introduit aussi le taux d'évolution moyen à deux éléments.

On étudira le taux moyen dans sa généralité plus tard.

On réintroduira aussi la notion d'indice de base 100.

Étape 1 : Découverte des moyennes

Activité de découverte : "Le piège de la moyenne" - partir d'une erreur courante (moyenne arithmétique des taux) pour découvrir la nécessité de la moyenne géométrique.

Application : comparer différents scénarios de placements financiers pour calculer des taux moyens.

Bilan : définitions formelles des deux moyennes et leurs contextes d'utilisation.

Étape 2 : Lien avec les suites

Établir le lien entre les moyennes et les suites arithmétiques/géométriques : trois termes consécutifs d'une suite arithmétique (resp. géométrique) sont tels que le terme du milieu est la moyenne arithmétique (resp. géométrique) des deux autres.

Exercices : - Reconnaître la nature d'une suite - Déterminer des termes manquants entre deux termes consécutifs - Calculer des taux moyens sur 2 périodes

Bilan : application des moyennes dans le contexte des suites

Étape 3 : Indice de base 100

Manipulation de la notion d'indice de base 100 et des automatismes sur les taux d'évolution.

Bilan : définition de l'indice, formules de calcul, lien avec les taux d'évolution, formulations additive et multiplicative, applications économiques.

Exercices : - Calculer des indices - Passer de formulation additive à multiplicative - Calculer des valeurs finales et initiales - Compléter des tableaux avec données manquantes - Calculer des taux moyens à partir d'indices - Écrire des formules de tableur avec références relatives - Projet de synthèse : modélisation avec suites et indices