Fonction inverse

Contenus

• Comportement de la fonction inverse aux bornes de son ensemble de définition.
• Dérivée et sens de variation.
• Courbe représentative ; asymptotes.

Capacités attendues

• Étudier et représenter des fonctions obtenues par combinaisons linéaires de la fonction inverse et de fonctions polynomiales de degré au maximum 3.

Commentaires

• Le calcul de la dérivée de la fonction x  1/ x permet de réinvestir la définition du nombre dérivé à partir du calcul du taux de variation.
• Les élèves des séries STI2D et STL ont déjà calculé la dérivée de la fonction inverse en classe de première dans le cadre de l’enseignement de spécialité de physique-chimie et mathématiques.
• La fonction inverse permet d’aborder des situations contextualisées de prix unitaire ou de coût moyen.
• Le comportement de la fonction inverse aux bornes de son ensemble de définition est mis en lien avec, d’une part, l’ordre de grandeur d’inverses de petits ou grands nombres, d’autre part, l’allure de la courbe.
• Aucune définition de l’asymptote n’est attendue ; on s’en tient à une approche intuitive.

Étape 1: Tableur et couts, couts moyen et couts marginaux

Activité tableur : les élèves calculent des coûts totaux, coûts moyens et coûts marginaux dans un contexte de production, et découvrent la fonction inverse comme modèle de coût moyen.

Étape 2: Fonction inverse - factorisation

Étude de la fonction inverse : ensemble de définition, comportement aux bornes, asymptotes, représentation graphique de la courbe (hyperbole).

Étape 3: Fonction inverse - Dérivation

Calcul de la dérivée de la fonction inverse à partir du taux de variation, sens de variation, étude de fonctions combinant polynômes et fonction inverse.

Étape 4: Problèmes

Exercices de synthèse : applications contextualisées (prix unitaire, coût moyen) et étude complète de fonctions obtenues par combinaison de la fonction inverse et de fonctions polynomiales.