Exponentiel prolongement suites géométriques

Contenus

• définition de la fonction x ↦ ax pour x positif comme prolongement à des valeurs non entières positives de la suite géométrique (a_n) ; extension à R en posant
• sens de variation selon les valeurs de a ;
• allure de la courbe représentative selon les valeurs de a ;
• propriétés algébriques

Capacités attendues

• Connaître et utiliser le sens de variation des fonctions de la forme x ↦ kax, selon le signe de k et les valeurs de a.
• Connaître les propriétés algébriques des fonctions exponentielles et les utiliser pour transformer des écritures numériques ou littérales

Commentaires

Étape 1: Découverte de la fonction exponentielle

Cette première étape introduit la fonction exponentielle comme prolongement continu des suites géométriques. Les élèves découvrent qu'une suite géométrique peut être étendue à des valeurs non entières et même négatives, transformant ainsi la suite en fonction. La définition formelle de la fonction puissance $x mapsto a^x$ est posée, avec des exemples concrets pour différentes bases.

Étape 2: Représentation graphique et variations

Cette étape se concentre sur l'étude graphique des fonctions exponentielles. Les élèves apprennent à identifier les courbes selon la base $a$ et à relier chaque fonction à sa représentation graphique. Un tableau synthétique présente l'allure des courbes en fonction des paramètres $k$ et $a$ dans l'expression $f(x) = k times a^x$, permettant de déterminer le sens de variation selon les valeurs de ces paramètres.

Étape 3: Manipulations algébriques

Cette dernière étape porte sur les propriétés algébriques des fonctions exponentielles. Les élèves travaillent les règles de calcul sur les puissances : produit, quotient, puissance de puissance, et apprennent à simplifier, réduire et factoriser des expressions contenant des exponentielles. Ces manipulations sont essentielles pour résoudre des problèmes concrets en contexte économique.