Ajustement Affine

Contenus

• Nuage de points associé à une série statistique à deux variables quantitatives.
• Ajustement affine.

Capacités attendues

• Représenter un nuage de points.
• Déterminer et utiliser un ajustement affine pour interpoler ou extrapoler des valeurs

Commentaires

• Les ajustements affines peuvent être réalisés graphiquement « au jugé ». L’appréciation de leur qualité peut faire l’objet d’une discussion au sein de la classe.
• La méthode des moindres carrés est présentée : recherche d’une droite d’équation y = ax + b réalisant le minimum de 𝚺i (yi - (axi+b))2 pour le nuage de points (xi,yi).

• Les situations ou contextes réels, en lien notamment avec les enseignements de spécialité, sont privilégiés :

  • données issues des domaines de la santé, de l’économie, de la gestion, des sciences sociales… ;
  • mesures expérimentales de grandeurs liées par une relation linéaire en physique-chimie (intensité et tension ; droite d’étalonnage d’une concentration…), en biotechnologies ou en sciences de l’ingénieur dans tous les domaines (industriels, génie civil…).

• Les élèves sont entraînés à exercer leur esprit critique sur la pertinence, au regard des données et de la situation étudiée, d’une modélisation par ajustement affine et sur les limites des extrapolations faites dans ce cadre.

Étape 1 : Nuage de points et "corrélation"

Objectif : Découvrir la notion de nuage de points et observer s'il existe une relation entre deux grandeurs.

Étude de 3 situations pour comprendre la relation entre deux grandeurs :

1. Situation réaliste avec relation affine : Budget publicitaire et ventes d'une entreprise
2. Situation réaliste sans relation claire : Prix et quantité vendue avec données dispersées
3. Situation avec croissance non linéaire : Croissance exponentielle d'une population de bactéries

Les élèves doivent représenter le nuage de points et se poser la question : est-ce qu'on pourrait arriver à prédire graphiquement des valeurs ?

Bilan de l'étape 1 :

Ce bilan présente la définition d'un nuage de points, deux exemples contrastés (relation linéaire vs absence de relation), et introduit les notions d'interpolation et d'extrapolation graphiques.

Étape 2 : Droite d'ajustement à la main

Objectif : Tracer une droite d'ajustement "au jugé" et déterminer son équation.

À partir de nuages de points, les élèves cherchent à les approximer par des droites tracées à la main. Une fois la droite tracée, il faut :

• Choisir deux points sur la droite
• Calculer le coefficient directeur $a$
• Calculer l'ordonnée à l'origine $b$
• Écrire l'équation sous la forme $y = ax + b$

Activité importante : Comparaison de deux ajustements différents (Alice et Bob) pour introduire l'idée de "meilleur" ajustement en calculant la somme des carrés des écarts. Cette activité prépare la méthode des moindres carrés.

Étape 3 : Droite d'ajustement avec les outils numériques

Objectif : Utiliser la calculatrice pour obtenir la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés.

Des exercices types du bac STMG où on a un tableau de données. Les élèves doivent :

• Saisir les données dans la calculatrice
• Utiliser la fonction de régression linéaire
• Obtenir l'équation de la droite d'ajustement
• Utiliser cette équation pour faire de l'interpolation et de l'extrapolation

Bilan de l'étape 3 :

Ce bilan présente la méthode des moindres carrés, son utilisation avec la calculatrice, et développe l'esprit critique sur les limites de l'ajustement affine (avec l'exemple des bactéries).

Bilan complémentaire : Interpolation et Extrapolation

Ce bilan court présente les définitions de l'interpolation et de l'extrapolation, avec deux exemples illustrés graphiquement pour bien distinguer les deux notions et comprendre leurs différences de fiabilité.

Étape 4 : Utilisation du tableur pour l'étude de l'espérance de vie

Objectif : Réaliser un ajustement affine complet avec le tableur.

Activité guidée avec le tableur pour étudier l'évolution de l'espérance de vie et faire des prédictions. Les élèves apprennent à :

• Créer un nuage de points dans le tableur
• Ajouter une courbe de tendance linéaire
• Afficher l'équation de la droite
• Utiliser cette équation pour faire des prédictions
• Exercer leur esprit critique sur la pertinence des extrapolations

Fichiers de l'activité :

• Version Excel : 4_TP_ajustement_affine_esperances_vie.xlsx
• Version LibreOffice : 4_TP_ajustement_affine_esperances_vie_libreoffice.ods
• Corrigé : 4_TP_ajustement_affine_esperances_vie_Corrige.xlsx