Arbre de probabilités

Contenus

• Probabilité conditionnelle d’un événement B sachant un événement A de probabilité non nulle. Notation PA(B). Indépendance de deux événements.
• Arbres pondérés et calcul de probabilités : règle du produit, de la somme.
• Partition de l’univers (systèmes complets d’événements). Formule des probabilités totales.

Capacités attendues

• Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée. Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.
• Utiliser un arbre pondéré pour calculer une probabilité.
• Dans des cas simples, calculer une probabilité à l’aide de la formule des probabilités totales.
• Distinguer en situation PA(B) et PB(A), par exemple dans des situations de type « faux positifs »

Commentaires

Les arbres pondérés constituent un outil de représentation et de calcul particulièrement efficace pour les situations de probabilités conditionnelles. Cette séquence vise à faire acquérir aux élèves la maîtrise de cet outil, depuis la construction d'arbres simples jusqu'à l'utilisation de la formule des probabilités totales et la notion d'indépendance.

Étape 1 : Arbre de probabilités et probabilités conditionnelles

Cette première étape introduit la représentation en arbre des situations probabilistes et les trois règles fondamentales de calcul.

Objectifs :

• Comprendre comment représenter une situation de probabilités conditionnelles sous forme d'arbre pondéré
• Maîtriser les trois règles de calcul : somme des branches = 1, règle du produit (chemin), règle de la somme (événement)
• Savoir passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement
• Utiliser la formule des probabilités totales dans des cas simples

Bilan 1 : Arbre et probabilités conditionnelles

Ce bilan présente la représentation en arbre des probabilités conditionnelles à partir d'un exemple concret (tableau croisé d'effectifs). Les élèves découvrent les trois propriétés fondamentales pour manipuler les probabilités dans un arbre : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches, et la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y conduisent (formule des probabilités totales).

Exercices de l'étape 1 :

• Mot et lettre : Exercice progressif qui introduit la construction d'arbres avec des situations de complexité croissante (lettres distinctes, lettres répétées, jetons pondérés). Permet de travailler le dénombrement et le calcul de probabilités.
• Retard : Application directe de la construction d'un arbre à partir d'un énoncé en langue naturelle (transport vélo/bus).
• Aéroport : Exercice sur les faux positifs (portique de sécurité) qui permet de distinguer P_M(S) et P_S(M).
• Sponsors : Utilisation de la formule des probabilités totales et introduction à la formule de Bayes (probabilité conditionnelle inversée).
• Paiements : Arbre à trois branches au deuxième niveau, travail sur la formule des probabilités totales avec plusieurs chemins.

Étape 2 : Indépendance de deux événements

Cette deuxième étape introduit la notion d'indépendance de deux événements et permet de faire le lien avec les arbres de probabilités.

Objectifs :

• Comprendre la définition de l'indépendance : P(A∩B) = P(A) × P(B)
• Savoir vérifier si deux événements sont indépendants à partir de probabilités données

Bilan 2 : Indépendance

Ce bilan définit formellement la notion d'indépendance de deux événements et propose un exemple d'application à partir d'un tableau croisé d'effectifs (glacier avec parfums et sexe du client). Les élèves apprennent à vérifier l'indépendance en comparant P(A∩B) avec P(A)×P(B).

Exercices de l'étape 2 :

• Tirages : Comparaison entre tirage avec remise (événements indépendants) et sans remise (événements dépendants). Exercice fondamental pour comprendre la différence entre les deux situations.
• Droitier et miopes : Vérification de l'indépendance à partir de probabilités données en langue naturelle.
• Parfum : Étude de l'indépendance de plusieurs paires d'événements à partir d'un tableau croisé. Permet de constater que certains événements peuvent être indépendants et d'autres non dans une même situation.
• Circuit : Application de l'indépendance à un contexte technique (circuits en série et en parallèle). Exercice de synthèse qui mélange indépendance et raisonnement logique.