Fonction exponentielle

Contenus

• Définition de la fonction exponentielle, comme unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f' = f et f(0) = 1. L'existence et l'unicité sont admises. Notation exp(x).
• Signe, sens de variation et courbe représentative de la fonction exponentielle.

Capacités attendues

• Pour une valeur numérique strictement positive de k, représenter graphiquement les fonctions t ↦ e⁻ᵏᵗ et t ↦ eᵏᵗ.
• Modéliser une situation par une croissance, une décroissance exponentielle (par exemple évolution d'un capital à taux fixe, décroissance radioactive).

Exemple d'algorithme

• Construction de l'exponentielle par la méthode d'Euler.

Commentaires

Cette séquence adopte une approche fonctionnelle de l'exponentielle, en privilégiant :

• La construction via l'équation différentielle f' = f
• L'étude graphique et analytique de la fonction
• Les applications en dérivation et modélisation

Les propriétés algébriques (notation eˣ, formules exp(a+b) = exp(a)×exp(b), résolution d'équations) seront traitées dans une séquence ultérieure. Cette séparation permet une appropriation progressive de la notion.

Étape 1 : Construction et étude de la fonction

Question de départ : Que se passe-t-il si une fonction est égale à sa propre dérivée ?

• Activité - Exercice : Construction numérique par la méthode d'Euler (dans exercises.tex)
  • Algorithme itératif : f(x+h) ≈ f(x) + h×f'(x) = f(x) + h×f(x)
  • Implémentation en Python ou tableur
  • Traçage de la courbe approchée
  • Observations : positivité, croissance, allure caractéristique
• Cours (Bilan 1B) : Définition et propriétés fondamentales
  • Théorème-Définition : Existence et unicité (admise)
  • Notation exp(x)
  • Démonstration de la positivité (par l'absurde)
  • Démonstration de la croissance stricte (exp' = exp > 0)
  • Limites (admises) : lim₊∞ = +∞, lim₋∞ = 0
  • Tableau de variations et courbe représentative
  • Calcul avec la machine (calculatrice, Python)

Étape 2 : Applications - Dérivation et modélisation

Cette étape est organisée autour d'exercices appliqués, sans nouveau cours magistral.

• Thème 1 : Dérivation
  • Dériver des fonctions de type exp(ax+b)
  • Dériver des produits et quotients
  • Études de fonctions (variations, extrema, courbes)
• Thème 2 : Modélisation physique
  • Croissance de populations (biologie)
  • Décroissance radioactive (physique nucléaire)
  • Refroidissement - Loi de Newton (thermodynamique)
  • Charge/décharge électrique (électricité)
  • Pharmacocinétique (médecine)
• Synthèse : L'équation différentielle f' = kf dans les sciences
  • Retour sur le sens physique de f' = kf
  • "La vitesse de variation est proportionnelle à la quantité présente"
  • Omniprésence dans les sciences naturelles et sociales
• Cours (Bilan 2B) : Représentations graphiques de fonctions exponentielles
  • Dérivation de exp(ax+b) : formule (exp(ax+b))' = a×exp(ax+b)
  • Croissance exponentielle : t ↦ exp(kt) pour k > 0
  • Décroissance exponentielle : t ↦ exp(-kt) pour k > 0
  • Influence du paramètre k sur la vitesse de variation
  • Tracés graphiques comparatifs