Produit Scalaire - projeté orthogonal

Contenus

• Produit scalaire à partir de la projection orthogonale et de la formule avec le cosinus. Caractérisation de l’orthogonalité.
• Développement de ||u + v||2, Formule d’Al-Kashi.

Capacités attendues

• En vue de la résolution d’un problème, calculer le produit scalaire de deux vecteurs en choisissant une méthode adaptée (en utilisant la projection orthogonale, à l’aide des normes et d’un angle).
• Utiliser le produit scalaire pour résoudre un problème géométrique.

Démonstrations

• Formule d’Al-Kashi (démonstration avec le produit scalaire).

Commentaires

Étape 1: Découverte notion produit scalaire

Un vecteur représentant un déplacement, plusieurs forces à classer en fonction de leur impact sur le déplacement. On fait deux fois cette manipulation pour arriver à la notion de projeté orthogonale.

Cours: Rappel de la définition du projeté orthogonal et définition du produit scalaire par le projeté orthogonal

Exercices où l'on va chercher à trouver un projeté pour calculer le produit scalaire.

Étape 2: Formule du cos

Démonstration de la formule du cosinus.

Cours: formule du cosinus

Exercices d'utilisation de cette formule de façon théorique et dans des problèmes de géométrie.

Étape 3: Colinéarité, orthogonalité et formule d'Al-Kashi

Utilisation du produit scalaire pour caractériser l'orthogonalité et démonstration de la formule d'Al-Kashi.