Calculs avec exponentielle

Contenus

• Pour tous réels x et y, exp(x + y) = exp(x) exp(y) et exp(x) exp(-x) = 1. Nombre e. Notation e^x.
• Pour tout réel a, la suite (e^(na)) est une suite géométrique.

Capacités attendues

• Transformer une expression en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle.
• Résoudre des équations et inéquations faisant intervenir la fonction exponentielle.
• Calculer la dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle.

Commentaires

Cette séquence prolonge l'étude de la fonction exponentielle en introduisant la notation puissance e^x et les propriétés algébriques associées. Elle s'appuie sur les propriétés fonctionnelles établies dans la séquence 14.

Étape 1 : Manipulation algébrique

• Cours (1B) : Propriétés algébriques — exp(x+y), corollaires, notation e^x
• Simplifier des expressions numériques (ex. 43 Sésamath)
• Simplifier des expressions avec variable (ex. 47 Sésamath)

Étape 2 : Équations et inéquations

• Cours (2B) : Résolution d'équations et d'inéquations par croissance stricte de exp
• Résoudre des équations du type e^{f(x)} = e^{g(x)} (ex. 49 Sésamath)
• Résoudre des inéquations (ex. 54 Sésamath)

Étape 3 : Dérivation

• Dériver des fonctions avec l'exponentielle : produit, composition, quotient (ex. 61, 86, 87 Sésamath)
• Étudier le sens de variation de fonctions (ex. 96 Sésamath)

Étape 4-5 : Problèmes de modélisation

• Maths et randonnée — étude graphique puis modélisation par f(x) = 150xe^{-0,02x²}+300 (ex. 134 Sésamath, D'après bac)
• Pollution d'une rivière — concentration modélisée par P(t) = 100te^{-t} (D'après bac)
• Concentration d'un médicament — f(t) = te^{-0,5t} (D'après bac)