Fonction dérivée

Contenus

• Fonction dérivable sur un intervalle. Fonction dérivée.
• Fonction dérivée des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée.
• Pour n dans ℤ, fonction dérivée de la fonction x ↦ xn.
• Fonction valeur absolue : courbe représentative, étude de la dérivabilité en 0
• Lien entre le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle et signe de sa fonction dérivée ; caractérisation des fonctions constantes.
• Nombre dérivé en un extremum, tangente à la courbe représentative.

Capacités attendues

• À partir de la définition, calculer le nombre dérivé en un point ou la fonction dérivée de la fonction carré, de la fonction inverse.
• Dans des cas simples, calculer une fonction dérivée en utilisant les propriétés des opérations sur les fonctions dérivables.
• Étudier les variations d’une fonction. Déterminer les extremums.
• Résoudre un problème d’optimisation.

Démonstrations

• La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0.
• Fonction dérivée de la fonction carrée, de la fonction inverse.

Commentaires

Étape 1: Construction de la fonction dérivée

Introduction de la notion de fonction dérivée à partir du nombre dérivé. Étude des propriétés de linéarité de la dérivation et calcul de dérivées de fonctions polynômes.

Étape 2: Lien entre variations et signe de la dérivée

Étude du lien entre le signe de la fonction dérivée et les variations de la fonction. Introduction des notions d'extremum local et global. Mise en place d'un plan méthodologique pour étudier les variations d'une fonction.

Étape 3: Dérivation des fonctions inverse, racine carrée et valeur absolue

Extension de la dérivation aux fonctions de référence : fonction inverse, fonction racine carrée et fonction valeur absolue. Étude de la dérivabilité en 0 de la fonction racine carrée.