Variables aléatoires

Contenus

• Variable aléatoire réelle : modélisation du résultat numérique d'une expérience aléatoire ; formalisation comme fonction définie sur l'univers et à valeurs réelles.
• Loi d'une variable aléatoire.
• Espérance, variance, écart type d'une variable aléatoire.

Capacités attendues

• Interpréter en situation et utiliser les notations {X = a}, {X ⩽ a}, P(X = a), P(X ⩽ a). Passer du registre de la langue naturelle au registre symbolique et inversement.
• Modéliser une situation à l'aide d'une variable aléatoire.
• Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire.
• Calculer une espérance, une variance, un écart type.
• Utiliser la notion d'espérance dans une résolution de problème (mise pour un jeu équitable…).

Commentaires

La séquence s'appuie sur l'exemple fil rouge du tirage d'un domino pour introduire progressivement la variable aléatoire, la loi de probabilité, puis les indicateurs statistiques associés (espérance, variance, écart-type). Les propriétés de linéarité de l'espérance et de la variance sont mises en application sur des transformations affines de variables aléatoires.

Étape 1 : Construction et pratique de la notion de variable aléatoire

Introduction formelle de la variable aléatoire comme fonction de l'univers vers les réels. La loi de probabilité est définie comme le tableau associant à chaque valeur sa probabilité. Les notations {X = a}, {X ≤ a} et les probabilités associées sont travaillées sur l'exemple du domino, puis généralisées.

Étape 2 : Espérance

Définition de l'espérance comme moyenne pondérée par les probabilités. L'interprétation fréquentiste (valeur moyenne sur un grand nombre d'expériences) est mise en avant. La propriété de linéarité E[aX + b] = a·E[X] + b est introduite et appliquée.

Étape 3 : Variance et écart-type

Définition de la variance comme espérance des écarts au carré à la moyenne, et de l'écart-type comme sa racine carrée. Ces indicateurs mesurent la dispersion des valeurs autour de l'espérance. La formule de transformation affine V(aX + b) = a²·V(X) est établie et utilisée.