Polynomes de degré 2

Contenus

• Fonction polynôme du second degré donnée sous forme factorisée. Racines, signe, expression de la somme et du produit des racines.
• Discriminant. Factorisation éventuelle. Résolution d’une équation du second degré. Signe
• Lien entre le sens de variation d’une fonction dérivable sur un intervalle et signe de sa fonction dérivée ; caractérisation des fonctions constantes.

Capacités attendues

• Déterminer les fonctions polynômes du second degré s’annulant en deux nombres réels distincts.
• Factoriser une fonction polynôme du second degré, en diversifiant les stratégies : racine évidente, détection des racines par leur somme et leur produit, identité remarquable, application des formules générales.
• Choisir une forme adaptée (développée réduite, canonique, factorisée) d’une fonction polynôme du second degré dans le cadre de la résolution d’un problème (équation, inéquation, optimisation, variations).
• Dans des cas simples, calculer une fonction dérivée en utilisant les propriétés des opérations sur les fonctions dérivables.
• Étudier les variations d’une fonction. Déterminer les extremums.
• Résoudre un problème d’optimisation.

Commentaires

Étape 1: Racines d'un polynôme de degré 2

Introduction de la notion de racine d'un polynôme et lien avec la factorisation. Présentation du discriminant et des formules permettant de déterminer le nombre de racines et leur valeur. Étude des relations entre les racines (somme et produit).

Étape 2: Signe d'un polynôme de degré 2

Étude du signe d'un polynôme de degré 2 en fonction du discriminant. Construction des tableaux de signes selon les trois cas : pas de racine, une racine ou deux racines.

Étape 3: Variations de polynômes de degré 3

Application de la dérivation à l'étude des variations d'un polynôme de degré 3. La dérivée d'un polynôme de degré 3 est un polynôme de degré 2, ce qui permet d'utiliser les outils développés dans cette séquence pour étudier son signe et en déduire les variations.